Adaptive estimation of the intensity of some point processes by model selection.
Estimation adaptative de l'intensité de certains processus ponctuels par sélection de modèle.
Résumé
In this thesis, we want to adapt model selection technics to
the problem of estimating the intensity of point processes. More precisely, we
want to prove that penalized projection estimators of the intensity are
adaptive either in a family of projection estimators or for the minimax risk.
We restrict ourselves to the inhomogeneous Poisson processes and to the
counting processes with Aalen's multiplicative intensity.In both cases, we want to prove an oracle type inequality which
shows that penalized projection estimators do quite as well as the best
projection estimator for a given family of models. The key to derive oracle
type inequalities is the concentration phenomena and more precisely the
knowledge of some exponential inequalities which allow us to control in
probability the deviations of chi-square type statistics upon their mean. We
prove two different concentration inequalities. The first one is only valid
for Poisson processes. It has the same orders of magnitude as the one due to
M. Talagrand for suprema of empirical processes. The second one does not
achieve these orders of magnitude but is valid for more general counting
processes.This last result uses martingales technics which can be applied also
to derive concentration inequalities for degenerate U-statistics of order 2
and
also for double integrals with respect to a centred Poisson measure. We also compute some lower bounds for minimax risks and we show
that penalized projection estimators reach these lower bounds up to some
constants.
the problem of estimating the intensity of point processes. More precisely, we
want to prove that penalized projection estimators of the intensity are
adaptive either in a family of projection estimators or for the minimax risk.
We restrict ourselves to the inhomogeneous Poisson processes and to the
counting processes with Aalen's multiplicative intensity.In both cases, we want to prove an oracle type inequality which
shows that penalized projection estimators do quite as well as the best
projection estimator for a given family of models. The key to derive oracle
type inequalities is the concentration phenomena and more precisely the
knowledge of some exponential inequalities which allow us to control in
probability the deviations of chi-square type statistics upon their mean. We
prove two different concentration inequalities. The first one is only valid
for Poisson processes. It has the same orders of magnitude as the one due to
M. Talagrand for suprema of empirical processes. The second one does not
achieve these orders of magnitude but is valid for more general counting
processes.This last result uses martingales technics which can be applied also
to derive concentration inequalities for degenerate U-statistics of order 2
and
also for double integrals with respect to a centred Poisson measure. We also compute some lower bounds for minimax risks and we show
that penalized projection estimators reach these lower bounds up to some
constants.
L'objet de cette thèse est d'adapter des techniques
de sélection de modèle au cadre particulier de l'estimation d'intensité de
processus ponctuels. Plus précisément, nous voulons montrer que les
estimateurs par projection pénalisés de l'intensité sont adaptatifs soit dans
une famille d'estimateurs par projection, soit pour le risque minimax. Nous
nous sommes restreints à deux cas particuliers : les processus de Poisson
inhomogènes et les processus de comptage à intensité
multiplicative d'Aalen.
Dans les deux cas, nous voulons trouver une inégalité de type
oracle, qui garantit que les estimateurs par projection pénalisés ont un risque
du même ordre de grandeur que le meilleur estimateur par projection pour une
famille de modèles donnés. La clé qui permet de prouver des inégalités de
type oracle est le phénomène de concentration de la mesure ou plus précisément
la connaissance d'inégalités exponentielles, qui permettent de contrôler en
probabilité les déviations de statistiques de type khi-deux au dessus de leur
moyenne. Nous avons prouvé deux types d'inégalités de concentration. La
première n'est valable que pour les processus de Poisson. Elle est comparable
en terme d'ordre de grandeur à l'inégalité de M. Talagrand pour les suprema de
processus empiriques. La deuxième est plus grossière mais elle est valable
pour des processus de comptage beaucoup plus généraux.
Cette dernière inégalité met en oeuvre des techniques de
martingales dont nous nous sommes inspirés pour prouver des inégalités de
concentration pour des U-statistiques dégénérées d'ordre 2 ainsi que pour des
intégrales doubles par rapport à une mesure de Poisson recentrée.
Nous calculons aussi certaines bornes inférieures pour les
risques minimax et montrons que les estimateurs par projection pénalisés
atteignent ces vitesses.
de sélection de modèle au cadre particulier de l'estimation d'intensité de
processus ponctuels. Plus précisément, nous voulons montrer que les
estimateurs par projection pénalisés de l'intensité sont adaptatifs soit dans
une famille d'estimateurs par projection, soit pour le risque minimax. Nous
nous sommes restreints à deux cas particuliers : les processus de Poisson
inhomogènes et les processus de comptage à intensité
multiplicative d'Aalen.
Dans les deux cas, nous voulons trouver une inégalité de type
oracle, qui garantit que les estimateurs par projection pénalisés ont un risque
du même ordre de grandeur que le meilleur estimateur par projection pour une
famille de modèles donnés. La clé qui permet de prouver des inégalités de
type oracle est le phénomène de concentration de la mesure ou plus précisément
la connaissance d'inégalités exponentielles, qui permettent de contrôler en
probabilité les déviations de statistiques de type khi-deux au dessus de leur
moyenne. Nous avons prouvé deux types d'inégalités de concentration. La
première n'est valable que pour les processus de Poisson. Elle est comparable
en terme d'ordre de grandeur à l'inégalité de M. Talagrand pour les suprema de
processus empiriques. La deuxième est plus grossière mais elle est valable
pour des processus de comptage beaucoup plus généraux.
Cette dernière inégalité met en oeuvre des techniques de
martingales dont nous nous sommes inspirés pour prouver des inégalités de
concentration pour des U-statistiques dégénérées d'ordre 2 ainsi que pour des
intégrales doubles par rapport à une mesure de Poisson recentrée.
Nous calculons aussi certaines bornes inférieures pour les
risques minimax et montrons que les estimateurs par projection pénalisés
atteignent ces vitesses.
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